Bir teoremin farklı kanıtları arasından “zarif” olanını seçmeyi, zahmetli ve yorucu olanı değil de, hoş sürprizlerle karşılaşacağımız keyifli bir yolculuğu tercih etmeye benzetebiliriz. Elbette önemli olan varmak istenilen yere ulaşmaktır, teoremin kanıtlanmış olmasıdır ama matematikçiler “zarafet” ve “güzellik” de ararlar. İngiliz matematikçi G. Hardy’ye göre zarif bir kanıt, derinliği, genelliği, şaşırtıcı ve ekonomik olması gibi değerlerle diğerlerinden ayrılır.
Bu yazıda ele alacağımız teoremlerin her birine iki farklı kanıt yaparak Hardy’nin belirlediği değerlere uygun olanları belirleyeceğiz.
Teorem: 100 karınca 100 cm uzunluğundaki bir çubuğun üzerine rastgele aralıklarla bırakılıyor. Saniyede 1 cm sabit hızla çubuğun sadece üst tarafında yürüyebilen ve herhangi bir yönde durmaksızın hareket eden karıncalar birbirlerine çarptıklarında hemen yön değiştirip aynı hızla diğer yöne doğru yürüyorlar. Çubuğun uçlarına gelen her karınca çubuğu terk ediyor.
Bu koşullarda karıncaların tümünün çubuğu terk edeceğini kanıtlayınız ve bu sonuca en çok kaç saniyede ulaşılacağını hesaplayınız.
Birinci kanıt: Çubuğun en sağındaki karınca ya doğrudan ya da bir karıncayla çarpışıp geri döndükten sonra çubuğu terk eder. Çubuğun en solundaki karınca için de aynı durum söz konusudur. Kalan karıncalar da çubuğu uçlardan aynı şekilde terk edeceğinden bir süre sonra çubukta karınca kalmayacaktır.
İkinci kanıt: Çarpışan karıncaların geriye dönmeyip birinin diğerinin üzerinden atladığını ve böylece her karıncanın bulunduğu yönde yürümeye devam ettiğini varsayalım. Bu senaryo değişikliği orijinal problemle aynı sonucu verecektir; çünkü karıncaların aldığı toplam yol her iki durumda da aynıdır. Çarpışan iki karıncanın geri dönmeyip yollarına devam etmeleri halinde birbirlerinin yerine geçtiğini düşündüğümüzde her iki durumda da alınan yolların uzunluğunun aynı olduğu kolayca görülür.
Her karınca yön değiştirmeden hareket edeceğinden karıncaların tümü çubuğu terk eder.
İlk kanıt sezgisel olmakla birlikte özünde doğru ama çok sıradan ve sıkıcı değil mi? Oysa son derece şık ve zekice bir fikre sahip olan ikinci kanıt “zarif” nitelemesini sonuna kadar hak ediyor; çünkü karıncaların birbirlerinin üzerinden atlamaları fikri problemin anında beyaz bayrak sallayarak teslim olması sonucunu doğuruyor. Ayrıca birinci kanıtı kullanarak karıncaların tümünün çubuğu en uzun terk etme süresini hesaplamak hiç kolay değil. Oysa ikinci kanıtta karıncalar birbirlerinin üzerinden atlayıp yollarına devam ettiklerinden tüm karıncaların çubuğu terk etme süresi en çok 100 cm/ 1 cm/sn=100 saniye olacaktır.
Teorem: √2 rasyonel sayı değildir.( İrrasyoneldir.)
Birinci kanıt: Antik Yunan matematikçileri tarafından matematik dünyasına verilen bir armağan olarak kabul edilen bir ispat yöntemini kullanacağız. Teoremin yanlış olduğunu kabul edip, kabulümüzle çelişkili bir sonuca ulaşarak teoremin doğru olduğunu göstereceğiz.
√2′nin rasyonel olduğunu varsayalım. O zaman a ve b tamsayı olmak üzere
√2=a/b
yazabiliriz. Burada a ve b’nin ortak çarpanı yoktur, yani eğer başlangıçta seçilen pay ve paydadaki sayılarının ortak çarpanı varsa sadeleştiriyoruz. Buradan,
√2 b=a
yazarak her iki tarafın karesini alırsak
2b^2=a^2
eşitliğine ulaşırız. O halde a² çift bir sayıdır. Öyleyse a da bir çift sayıdır. (Bir tamsayının karesi çiftse o tamsayının da çift olduğunu göstermek kolay.) Demek ki bir t tamsayısı için a = 2t yazabiliriz. a’yı yukarıdaki eşitlikte yerine yazar, sadeleştirmeyi yaparsak
b² = 2t²
elde edilir. O halde b² çift bir sayıdır, dolayısıyla b de çifttir. Böylece a ve b’nin her ikisi de çift sayılardır, bu yüzden 2 ile bölünebilirler. Bu sonuç, bizim a ve b’nin ortak çarpanı (böleni) olmadığı yolundaki varsayımımızla çelişir. Öyleyse √2’nin rasyonel olduğu varsayımımız yanlıştır ve teorem kanıtlanmıştır.
İkinci kanıt: Bu kanıtta² da birinci kanıttaki gibi √2’nin rasyonel olduğunu varsayarak a ve b tamsayıları için
√2=a/b
yazacağız. Önceki kanıttaki gibi a ve b’nin ortak çarpanının olmadığını, yani eğer başlangıçta seçilen pay ve paydadaki sayılarının ortak çarpanı varsa sadeleş-tirdiğimizi kabul edip, her iki tarafın karesini alarak a² = 2b² eşitliğine ulaşacağız.
Ve artık burada birinci kanıtı terk ediyor muhte- şem bir manzaraya doğru yol alıyoruz!
a² = 2b² = b²+b²
Yukarıdaki eşitlik geometrik olarak yorumlandığında kenar uzunlukları a ve b olan karelerin alanları arasındaki bağıntıyı gösterir. Yandaki şekilde büyük karenin kenar uzunluğu a, diğer eş iki karenin kenar uzunlukları b birimdir.
Şimdi iki küçük kareyi aşağıda görüldüğü gibi büyük karenin içine yerleştirelim. Kenar uzunlukları b birim olan kareler büyük karenin içinde üst üste binerek ortada yeni bir kare oluşturuyor.
Kenar uzunlukları b birim olan karelerin alanlarının toplamının kenar uzunluğu a birim olan büyük karenin alanına eşit olduğunu varsaymıştık. Bu varsayım ortadaki karenin (kenar uzunluğu 2b–a birim olan kare) alanının sol üst ve sağ alt köşelerde oluşan karelerin (kenar uzunlukları a–b birim olan kareler) alanları toplamına eşit olması sonucunu doğurur.
Başlangıçta a/b kesrinin sadeleşmiş bir kesir olduğunu, dolayısıyla a ve b sayılarının ² = b²+b² eşitliğini sağlayan en küçük tamsayılar olduğunu kabul etmiştik, yani a ve b tamsayılarının bir karenin alanının iki eş karenin alanının toplamına eşit olmasını sağlayan en küçük tamsayılar olduğunu varsaymıştık. Oysa şimdi aynı durum yukarıdaki şekle göre kenar uzunluğu 2b–a birim olan kare ile kenar uzunlukları a–b olan kareler arasında gerçekleşiyor: (2b–a)² = (a–b)²+ (a–b)² (I). Bu sonuç bir çelişkidir; çünkü a ve b tamsayılarından daha küçük olan 2b–a ve a–b tamsayılarıyla sağlanan (I) eşitliğini elde ettik. Öyleyse √2’nin rasyonel olduğu varsayımımız yanlıştır ve teorem kanıtlanmıştır.
Birinci kanıtın hakkını yemeyelim, çelişkiyle kanıt yönteminin mükemmel bir örneği ama ikinci kanıttaki görsel şölen çok hoş! Birinci kanıtta yer alan a ve b tamsayılarının en küçük alınması düşüncesi ikinci kanıtta şaşırtıcı bir yorumla geometrik olarak ele alınıyor.
Sonuç olarak her iki kanıt da Hardy’nin ortaya koyduğu “zarif ” kanıt değerlerini sağlıyor. Birinci kanıtı matemati- ğin en güzel kanıtlarından biri olarak kabul eden Hardy, ikinci kanıtı görebilseydi ne düşünürdü acaba?
KAYNAKLAR
1) https://www.physics.montana.edu/avorontsov/teaching/documents/problem_Math004.pdf
2) https://divisbyzero.com
