Geleneksel olarak ilk önce birkaç kelime ile bu yazının ele alınma nedenlerine değinelim. Asıl neden, 1821’de Fransız Augustin Louis Cauchy (1789-1857) tarafından ispatlanmış ve onun adını taşıyan meşhur eşitsizliğin Azerbaycan’ın Calilabad ilinde matematik öğretmenliği yapan dostum ve meslektaşım Samed Abdullayev tarafından güncelleştirilmiş yeni biçimi ile Bilim ve Gelecek okurlarını tanıştırmak olmuştur diyebilirim. Tabi nedenin yanında bir de fitil rolünü üstlenen vesile olmayınca iş yürümüyor genelde. Nihayet Sakarya Üniversitesi mensubu, bir diğer dostum Sait Başer’in “Toplumsal aklı anlamak” kitabında bu vesile de bulunmuş oldu. Hatta bu vesile makalenin ele alınmasında o denli etkili oldu ki, kendinden önceki nedeni bir vesile durumuna indirgemiş oldu nerdeyse. Birkaç kelimeyle bu neden ve vesile hakkında da bilgi verelim.
Söz konusu neden-eşitsizlik, n tane pozitif sayının aritmetik ortalamasının (toplamının n’e olan oranı) onların geometrik ortalamasından (çarpımlarının n dereceden kökü) küçük olmayacağı hakkında bir teoremin sembolik ifadesidir. Kitaptan bulunan vesile ise, önümüzde eşitliğin zıddı olan çeşitlik olmadığı durumda, insanlığın temel sloganlarından biri olan “Düşünüyorum, demek ki, varım” ifadesinin birinci – şart kısmının gerçekleştirilebilmesinin olanaksız olduğu hakkındaki tez idi. Makalemizi bu tezle başlayıp, diğer örneklerle devam edip, matematik ve fizikteki (yani doğadaki) yankılarına değindikten sonra, birkaç ilginç mantık problemine göz atmakla bitirmek istiyoruz.
Eşitsizliğin doğal değerleri
Her nedense “eşitsizlik” lafı günlük yaşamımızda bir “adaletsizlik” havası yaratır kafamızda, “Neden?”, diye. Oysa hayatta adaletli eşitsizlikler var ve aslında bu doğal eşitsizliklerin dışında yaşam sürdürülemezdi. Tam da tersine her şeyin eşit olarak değerlendirilmesi bizi içinden çıkılması olanaksız bir kaosa, bir belirsizliğe sürüklerdi kesinlikle. Bununla ilgili küçük ve ibret alınacak bir hikâye de var hatta: Seyahat eden iki arkadaş her şeyin (et, yağ, peynir vs.) fiyatı aynı olan bir şehre rastladıklarında, onlardan biri burayı çok beğenmiş ve yaşamaya karar vermiş. Günlerin birinde, asılmakla idama mahkûm olunmuş birisinin kafası küçük, boynu ise yoğun olduğundan dolayı, sabunlu ilmek sürekli olarak kayıp çıktığında, el atıp, idamı seyredenlerin ilk saflarında yer almış bizim, burayı çok beğenmiş vatandaşı sehpaya kaldırır ve asırlar. Bu da senin için her şeyin eşit olmasının özelliği ve de güzelliği.
Gözle görülen gök kubbesine göz attığımızda çeşitli yıldızlar, onlardan oluşan değişik formlu burçlar görürüz ve bu farklılıklar bizlere orada bir düzenin olmasını fark etmekte yardımcı oluyorlar. Fransız H. Poincare’nin Astronomi hakkındaki yazısında da ifade olunduğu gibi, orada bulduğumuz denge ve düzen bizde yaşam için zorunlu olan bir güvenlik duygusu uyandırır. Biz farklılıklardan yola çıkarak yıldızlara, burçlara değişik adlar takıyor ve onları inceliyoruz. Dünyanın yörüngesi elips değil çember olsaydı ve onun Güneş etrafında dönme hızı da değişmeseydi, meşhur Kepler yasalarından hiçbiri olmazdı. Kısacası evrendeki tüm yıldızlar aynı boyutta, aynı mesafede ve aynı parlaklıkta olsaydı, bir bilim dalı olarak astronomi de var olamazdı.
Eğer dünyamızda dağlar, dereler, tepeler, ovalar gibi doğal eşitsizlikler olmasaydı ve dünyamız ideal küre biçiminde olsaydı, yani su kütlelerini harekete geçiren potansiyeller farkı olmasaydı, tüm akarsular duraklar, elektrik santrallerinin manası kalmazdı. Aklımıza yel değirmenleri ve rüzgârla çalışan elektrik santralleri geliyor bu durumda. Fakat basıncın her yerde eşit olması bu olanağı da, bize sevinmeye zaman tanımadan, elimizden alıyor anında. Güneşten enerji alabilmemiz de onda ve bizde olan sıcaklığın farklı olmasına bağlı. Eğer elektromanyetik dalgaların uzunlukları hep aynı olsaydı gözümüzü ve gönüllerimizi okşayan güzelim renklerin yalnızca biri kalırdı ve ek olarak beyaz ışık da aradan kalkardı. Çünkü o gökkuşağını oluşturan yedi rengin (kırmızı, turuncu, sarı, yeşil, mavi, lacivert, mor) karışımından oluşmakta ve bu renkler küçülen dalga uzunluklarına sahip. Aynı şekilde do, re, mi, fa, sol, la, si gibi farklı dalga uzunluklarına sahip ses dalgaları olmasaydı hiçbir musiki eseri de yaratılamazdı ve biz toplum olarak çok yoksun kalırdık.
Dünyamızı bırakıp da toplumumuza bir göz atsak, çok değişik farklılıklarla karşılaşırız. Bu farklılıklar bizi birbirimize muhtaç yaparak toplumun dağılmamasını, daha sıkı birleşmesini sağlıyor. Bir an herkesin tüm işlerini kendisinin yapacağını düşünürsek, bu ortamda toplum manasını, mazmununu kaybederek ortadan kalkmış olurdu. Tabi bu durumda herkes “ağa” olamaz, bir atasözünde de denildiği gibi “Sen ağa, men ağa, be inekleri kim sağa?”. Burada önemli olan her mesleğin toplum için belli değerler taşıdığının toplum tarafından idrak olunması ve herkesin hakkının yenilmeden, eksiltilmeden kendisine teslim edilmesidir. İşte tam da burada adaletsiz dediğimiz eşitsizlikler ve eşitsizcikler ortaya çıkıyor ki, vicdanlı insanlar buna karşı mücadele vermiş sürekli olarak. Meselenin ilginç yanı şu ki, bu mücadelenin önderleri nerdeyse çoğu zaman, bu farklılıklardan rahat bir şekilde yararlanabilecek insanların saflarından çıkmışlardı (Rus inkılâpçı demokratları vs.). Yani toplumdaki temel adaletsiz eşitsizlikler, oluşturulan değerlerin paylaşımı sırasında meydana çıkıyor ve ona karşı mücadele o kadar zor ki, hatta iki adam için de adaletli paylaşımı sağlamak için “Harami Bölüşümü” diye bir şey düşünülmüş. Haramilerden birisi bölüm işini üstlenince, ilk olarak pay götürme hakkı diğerine verilir (Acaba üç harami arasında da uygun, adaletli bir bölüşüm var mı?).
Gelgelelim kendimize ve kendimizi “derk etmeğe”. Eğer farklı duyu organlarımız ve de onların tahlilini yapan farklı sinir merkezlerimiz olmasaydı, merak edeceğimiz fazla bir şey olmazdı çevremizde ve nerdeyse solucandan, terlikten farklı sürdüremezdik yaşamımızı. İşte bu farklı dünyadan, farklı duyu organlarımızla edindiğimiz farklı duygular, çevremize doğuştan var olan merakımızı körükler ve çevremizi anlamak için gereken düşünme mekanizmamızı çalıştırır. Bahtiyar Vahabzade’nin malum şiirinde denildiği gibi, “Yaşamak yanmaktır, yanasın gerek” yerine “Yaşamak anlamaktır, anlayasın gerek” denilmesi daha anlamlı olurdu diye düşünüyorum. Belki de şair “yanmak” dediğinde “anlamayı” kastetmiştir, olabilir. Farklılığın değerini, önemini ve de sağladığı avantajı idrak etmek için iki basit örnek verelim. Sadece sıfır veya sadece birlerden oluşan sistem, “mevkisiz” sayı sistemi dışında bir işe yaramadığı halde, 0 ve 1 gibi iki elemandan oluşan sistem çağdaş bilgisayarların ve internet ağının çalışmasını sağlamaktadır. Öte yandan satranç tahtasının birinci karesine 1, her sonraki karesine bir fazla buğday tanesi koymak için gereken 2080 buğday tanesi nerdeyse cebimizin birini dolduracak kapasitede olmadığı halde, her sonraki kareye iki defa fazla buğday koymak için gereken buğday taneleri ile Dünyamızın üzerini, okyanuslar da dâhil buğday tabakası ile örtebilirdik. İşte tekle ikinin farkı bu kadar olurmuş!
Toplumdaki eşitsizliklerle bağlı fıkra türünden birkaç hikâye
Önce eşitsizliklerle (farklılıklarla) bağıntılı toplumda var olan bazı atasözlerine yorum yapmadan kısaca bir değinelim. Allahsız yerde otur, büyüksüz yerde oturma; Ekmek büyüğündür, su küçüğün; Ağır otur, batman gel; Her şey incelikten kırılar, insan kabalıktan; Manevrada zor olursa, dövüşte kolay olur; Acı gerçek şirin yalandan yeğdir; Uzun konuşma, kısa kes; Uzunun aklı topuğunda olur; Kısa boylunun gönlünden günde yüz kez padişahlık geçer. Bu deyimlerden de göründüğü gibi toplum her vakit ağırı hafife, zoru kolaya, acıyı şirine tercih etmiş. Son örneklerden ise görünen o ki, beşer evladı her zaman orta yol aramış, öteki sınır bölgelere ait kimselere kötümser bakmıştır.
Bu arada farklılıkların önemi “Buridan Eşeği” tabiri ile de tarihe geçmiştir. Bu eşeğin sahibi eşeği üzerinde şöyle bir “acımasız” deney gerçekleştirmiş. Eşekten aynı mesafede ve aynı miktarda yem bırakarak, onun hangi yemi tercih edeceğini merak etmiş. Eşek ise fark göremediğinden hiçbirini tercih edememiş ve acından ölmüş. Fıkranın esprisi şu ki, benzer ortamda “Buridan Eşeği”ne dönüşmemek için, insanın farklılıklar olmayan yerde farklılık oluşturması veya keşfetmesi lazım, yani başkalarının göremediklerini fark etmesi gerekir.
Bazı durumlarda “adaletsiz” görünen eşitsizliği adaletli yapmak için, onu biraz daha derinleştirmek lazım gelebilir. Örneğin 3 ve 5 ekmeğe (birim) sahip iki kişi üçüncü bir kişiyle birlikte bu ekmekleri yedikten sonra, onun yemek karşılığında vermiş olduğu 8 liranın bölünmesinde olduğu gibi. 5 ekmeği olan bu parayı 5 + 3 olarak bölmeyi teklif ettiğinde, öteki bunu “adaletsiz” hesap etmiş ve 4 + 4 olarak bölüşmeyi ortaya atmıştır. Ama iş bir akıllı hakeme intikal edince, o, ekmeği 7 + 1 olarak 5 ekmek sahibinin lehine halletmiş (neden?) ve bu eşitsizlik evvelkinden “derin” olmasına rağmen, doğru hesaba dayandığından kabul görmüştür.
Acaba bu konularda sevgili Nasreddin Hoca ne demiştir? Elinde sağlam mantığa ve insancıl siyasete dayalı adalet bayrağı ile Türk dünyasında dolaşmış ve halen dolaşmaya devam eden Hoca’nın bu alandaki uygunsuzlukları aradan kaldırmasının genel yöntemi “kamayı kama çıkarır” yasasına dayanmıştır. Örneğin onu çok berbat bir şekilde tıraş etmiş berbere 3 lira yerine 5 lira vermek gibi. Bir sonraki tıraşta onu, sultanlara layık bir şekilde tıraş eden berbere verilen hak ise sadece 1 liraydı. Bu olay karşısında şoke olmuş berbere denilen sözler ise gerçekten altın harflerle yazılmaya aday: “Şaşırma evladım, bu para bir önceki tıraşın parasıdır, önce verdiğim ise bugün yaptığın tıraşın parasıydı”.
Veya eski püskü giyimine bakıp meclisin aşağı başına oturtulan Hoca’nın, daha sonra yeni abasından dolayı yukarı başa davet olunduğunda, abasına önündeki pilava işaretle “Ye abacığım, ye!” demesi toplumda yaygın olan adaletsiz farklılıklara bir isyan gibi algılanmalıdır bence. Elbette insanlar arasında fark konulması doğal, ama bu fark “abaya” göre değil, akıla, idrake, insanlara hayırlı olma derecelerine göre konulmalıdır.
Hoca’nın adaletsiz kararları aradan kaldırma yollarından biri de, bu kararı olumsuza indirgemek olmuştur diyebiliriz. Örneğin kızına talip olan bir delikanlıya, “Gece sabaha kadar buz bağlamış nehirde kalırsan, kız senindir” diyen kız babasının, daha sonra sözünden dönerek oğlana, “Kendin de itiraf ettin ki, sabaha kadar köy kenarındaki evden gelen ışığa bakmışsın, demek ki, ısı almışsın ve şartımız bozulmuş” demesi üzerine yaptığı gibi. Hoca bu kararı onaylayan hakemi, kızın babasını ve köyün daha birkaç ileri gelenlerini pilava davet etmiş, fakat uzun süre pilav ortaya gelmeyince, nedenini merak eden konuklarını bahçeye götürmüş. Belli olmuş ki, su ile dolu pilav kazanı dut ağacının yüksek dallarından birine asılmış, aşağıda zeminde ise bir mum yakılmıştır. Konuklarının, “Bu mumun ısısıyla o kazan, bırak kaynamayı, hiç ısınamaz” demesi üzerine, Hoca “Be nasıl oluyor da köyün kenarındaki evden gelen ışık, boğazına kadar buzlu nehir suları içerisindeki bir genci ısıtır” diyerek onları utandırmış ve adaletin yerini bulmasını sağlamıştır.
Fizikteki bazı eşitsizlikler hakkında
Ondan başlayalım ki, iletkende potansiyeller farkı olmasaydı elektrik akımı olmaz ve lambalarımız yanmazdı. Şakayı bir yana bırakırsak, aslında bu durumda elektrikle çalışan tüm makineler, “omurga iliğine kurşun isabet etmiş kaplan” misali anında felç olurdu.
Fizikte olan temel eşitsizliklerden bir tanesi Fermat Prensibi ile bağıntılı olarak şöyle ifade olunur: ışık bir noktadan diğerine giderken en az zaman sarf edeceği yolu tercih ediyor. Yani bu yola sarf olunan zaman başka yollara sarf olunan zamanların en küçüğüdür. Işığın yansıma ve kırılma yasaları bu eşitsizlik-prensipten kolayca çıkarılabilir. Işığın hızı homojen ortamda sabit olduğundan (boşlukta 300000 km/sn) bu prensip “en kısa yol” prensibine indirgenebilir. Buradan yola çıkarak ispatlayabiliriz ki, aynanın C noktasından yansıyarak A’dan B’ye ulaşan ışının yolu öyle olmalıdır ki, yolun AC ve CB doğrusal parçaları aynayla aynı açılar oluştursun (Şekil 1).
Fizikteki bir ikinci temel eşitsizlik, vakumdaki tüm hızların, sisteme bağlı olmaksızın sabit kalan ışık hızını aşmadığını ifade eden v c eşitsizliğidir ve bu Einstein’ın İzafiyet teorisinin temelini oluşturmaktadır. Hareket eden sistemlerde hıza bağlı olarak kütlenin artması, zamanın yavaşlaması ve yerel zamana dönüşmesi gibi sonuçlar işte bu temel prensibin sonuçlarıdır. Daha bir temel eşitsizlik, parçacıkların dürtü ve koordinatlarının belirlenmesinde yapılan hata çarpımlarının aşağıdan belli bir sınıra sahip olmaları hakkındaki Heisenberg Belirsizliği adı ile meşhur olan ifadesidir ki, bu da çağdaş kuantum teorisinin temelini oluşturmaktadır. Buradaki h ise sahibi kadar meşhur olmuş Plank sabitidir.
Aslında fizik (füzis-doğa, eski Yunanca) bilim dalı Galilei’den başlayarak ölçümle gözlemlenen olaylara dayandığından, onun hükümlerinin nerdeyse tamamının eşitsizlik türünden olması çok doğal olsa gerek. Örneğin bir reel dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları karelerinin toplamının onun hipotenüs uzunluğunun karesine net olarak eşit olması nerdeyse ender görülecek bir şey. Gözlemlenen olay, onların farkının negatif veya pozitif, sıfıra yakın bir sayı olmasıdır. Bu ölçüm sürecinde aletlerin ve gözlemcinin hatalarından kaynaklanmakta olup, her zaman doğal karşılanmıştır. Hatta o kadar doğal karşılanmış ki, bu hatalardan kurtulmak yerine, hatalarımızı minimuma indirmek için “Ölçüm sonuçlarının matematik irdelenmesi” gibi bir bilim dalı geliştirme ihtiyacı doğmuştur sonunda. Veya reel bir üçgenin iç açılarının toplamının 1800 olmasını bekleyemeyiz. Bizim beklentimiz bu toplamın 1800’ye “çok yakın” olmasıdır yalnızca ve bu da eşitsizlik olarak biçiminde ifade olunmaktadır. Buradaki üçgenin iç açıları, ise bizi tatmin edecek kadar küçük, pozitif bir sayıdır. Aynı sözleri fizikteki yasalarla bağlı tüm eşitlikler hakkında da söyleyebiliriz. Yani tüm fizik yasaları, gerçekleşme ihtimali hemen hemen 1 olan olayları tasvir etmekteler yaygın olarak.
Yeri gelmişken, Evrenimizin türünü (Öklit, Rieman veya Lobachevski) belirlemek için tepeleri sabit yıldızlarda veya Dünya üzerinde yeterince uzak mesafede yerleşen üç dağ zirvesinde olmak üzere, daha küçük çaptaki üçgenlerin iç açılarının toplamını kontrol etmeye çalışmışlar ve Alman Friedrich Gauss bu işin öncüllerinden olmuş. Üçgenin büyük alınmasının nedeni ise, beklenen uzay “eğikliğinin” üçgenin iç açıları toplamının değişmesine olan katkısını ölçek aletlerimizin hatası çerçevesinde fark edilebilir düzeye taşımaktı. Bildiğim kadarıyla net bir sonuca ulaşılamadı. Eğer üçgenin iç açıları toplamı 1800’den büyük olsaydı Evrenimiz eliptik (sonlu, ama sınırsız), küçük olduğunda ise hiperbolik (sonsuz ve sınırsız) olduğuna karar verilecekti. Evrenimizin bu Öklitdışı geometrilerden biri ile tasvir olunabileceğini düşünüyorduk bir zamanlar, sonra yeni, çok değişik modeller de ortaya atıldı ki, bu konulara bu makale çerçevesinde girmek istemiyorum açıkçası.
Son olarak bu bölümde ölçü hatasının etkisini önlemek için aynı kemiyeti birkaç defa ölçüp, sonuçların aritmetik ortalamasını almamızın nedenlerine değinmek istiyorum. Yukarıda da zikrolunduğu gibi, değerini bilmek istediğimiz bir x kemiyetini ölçerken gibi n tane farklı değer ediniriz. Bu durumda ortaya çıkan hatayı değerlendirmek için Gauss, ortalama karesel hata (OKH) denilen ifadesini önermiştir. Amaç bu hatayı minimuma indirgeyen x değerini belirlemek olur böylece ve makbul olan da bu. Şimdi elimizde sadece ve gibi iki sonuç olduğunda, bu değerin olduğunu gösterelim. Bu durum için olur. Bu hatada birinci terim sabit olduğundan, son iki terimden oluşan ifadesini en küçük yapan x değerini bulmamız lazım. fonksiyonu 2 dereceli üçterimli olduğundan Şekil 2’den de göründüğü gibi, bu minimum hataya yalnızca değerinde ulaşılır ki, bu da x1 ve x2 değerlerinin aritmetik ortalamasından başka bir şey değildir. n tane değer için de OKH’yı en küçük yapan değerin, bu değerlerin aritmetik ortalaması olduğu cebirsel olarak kolayca ispatlanabilir (4).
Matematikte mevcut olan eşitsizlikler üzerine
Nihayet ele alınan yazının “neden” bölümüne yetişmiş durumdayız. Ondan başlayalım ki, matematikteki eşitsizliklerin hepsi “adaletlidirler” ve bunun iki temel nedeni vardır. Birinci neden odur ki, ortada paylaşılacak bir maddiyat ürünü yok, matematiğin tamamı zihnimizde var olan soyut değerlerle uğraşıyor yalnızca. İkinci neden ise odur ki, matematikte yanlış, yani “adaletsiz” eşitliğe vatandaşlık hakkı tanınmıyor, ona “pasaport” verilmiyor ve bu tür eşitsizlik, eğer varsa, kısa sürede “sınır dışı” ediliyor.
Matematikte eşitsizliğin önemi hem bir düzen oluşturmakta, hem değerlendirme işinde, hem de kontrol aracı olarak kullanılmasındadır. Düzen derken büyüklük-küçüklük meselesini kastediyoruz esasen. Eğer bir kümenin keyfi iki elemanı arasında hangisinin büyük olduğunu söyleyebiliyorsak, bu kümeye “tamamen düzenli” küme deriz. Ancak, bazı elemanlar hakkında karar verebiliyorsak bu konuda, o zaman kümemize “kısmen düzenli” küme denilir. Örneğin reel sayılar kümesi tamamen düzenli, karmaşık sayılar kümesi ise kısmı düzenli kümelerdir. Eğer kümemiz düzlemdeki dairelerden oluşuyorsa ve büyüklük barındırmak, ihtiva etmek gibi algılanıyorsa, buna göre alınan daireler kümesinin kısmı düzenli olacağı açık.
Değerlendirme meselelerinin çoğu, sonsuz serilerin yakınsaklığı ile bağıntılı olup, yakınsak bir serinin sonlu sayıda terimini aldığımızda, serinin toplamından ne kadar uzak kaldığımızı değerlendirme işine yardımcı oluyor. Bazen aranan değeri (fonksiyonu) bir dizinin limiti olarak arıyoruz ki, bu durumda da eşitsizliklerin yardımıyla ortaya konulan yakınsaklık teoremi, arananın var oluşu ile bağlı varlık teoremi gibi ortaya çıkıyor. Bunun yanı sıra bu tür değerlendirmeler aynı zamanda dizinin hedefe yakınsaklık “hızının” belirlenmesini de sağlıyor ki, bu da çağdaş bilgisayarlarla yapılan sayısal hesaplar için vazgeçilmesi imkânsız bir önem taşımaktadır. Tabi bu tür eşitsizlikler olumsuz yönde de kullanılabilir. Örneğin ve malum eşitsizliklerinden yola çıkarak, eşitsizliğine ulaşırız ki, bu da biçimindeki bir trigonometrik denklemin çözümünün olamayacağının bir kanıtıdır.
Kontrol meselesine geldiğimizde ise, örneğin 3 pozitif sayının çarpımının küp kökü (geometrik ortalama) onların toplamının üçte birinden (aritmetik ortalama) büyük çıkıyorsa, demek ki, hesapta bir yanlıştık var, çünkü bilindiği üzere geometrik ortalama aritmetik ortalamayı aşamaz (Cauchy eşitsizliği). Hayatta bu tür eşitsizlikler kendimizi de kontrol etmemize, soğukkanlı olmamıza yardım ediyor her zaman. Yaşamımızın her aşamasında çözmeye gayret ettiğimiz mini-maksi problemleri de eşitsizliklerle ilgili. Biz her zaman az zahmet verip, çok kazanmak istiyoruz ve bunu doğal karşılamak lazım. Bu durumda adamın kalitesi yüksektir veya adam verimli çalışıyor derler genelde. Fakat burada da kazancımızın üst ve bunun için vermeş olduğumuz emeğin alt sınırlarını bilmemizde fayda vardır her zaman. Adaletli olmamız için bu sınırlar içerisinde kalmamız gerekmektedir.
Son olarak ekleyelim ki, matematikte kısmen de eşitsizliklerin katkısıyla ikili, üçlü standartlara yer yok. Çünkü matematikte dünyada en murdar şey olan yalana yer yok. Yalan ise tüm kötülüklerin temeli ve anahtarı konumundadır. Doğrudan farklı olarak yalanın çok yüzü var, o kadar ki, ikiyüzlü Yanus dediğimiz mitolojik varlık bu yalan üreticilerinin yanında nerdeyse masum kalıyor hatta.
Yani ortada sadece 2 sayı olduğunda, eşitsizlik eşitliğe dönüştü.
Yazının tatlısı olarak birkaç mantık problemi
1) Birinci kattaki tek lambayı zemin kattaki 3 anahtardan yalnızca bir tanesi yakabilmektedir. Lambayı yalnızca bir defa kontrol etmekle hangi anahtarın onu yaktığını nasıl tespit ederiz?
2) 12 tane aynı biçimde olan paranın bir tanesi hafif veya ağır olmakla sahtedir. Sahte paranın normalden hafif veya ağır olduğu bilinmiyorsa, kefeli terazide sadece üç tartı ile sahte para nasıl bulunabilir?
3) İdama mahkûm olmuş bir adama son bir söz demek hakkı tanınmış. Eğer bu söz doğru olursa adam kafası uçurulmakla, yalan olduğunda ise asılmakla idam olunacakmış. Adamın ne söylemesi lazım ki, idamdan kurtulabilsin?
4) Hastaya tedavisi için birbirinin tıpatıp aynısı olan iki haptan ikişer olmakla dört hap verilmiş. İki sabah bunların her birinden birer tane olmakla içerse sağalacakmış. Eğer bir hata sonucu iki tane aynı hap içerse ölecekmiş. Bir tesadüf sonucu haplar karışmış. Vatandaşın ölüm riskini aradan kaldırması ve tedavisini sağlaması için ne yapması gerekiyor? Ona yardımcı olabilir misiniz?
5) Sarayın bir iç duvarındaki iki kapıdan birinin arkasında aç aslan, diğerinin arkasında ise hazine vardır. Her kapının önünde birer bekçisi var ve bunlardan biri her zaman doğru, diğeri ise her zaman yalan konuşuyor. Bekçilerden sadece birine bir soru sormakla hazine olan kapıyı nasıl tespit edersiniz?
6) Üç bilge kişiye üçü beyaz, ikisi siyah olmakla üç bere göstermiş, sonra da onların gözlerini sararak, her üçünün kafasına beyaz bere koymuşlar. Daha sonra gözlerindeki sağrıyı açmış ve berelerinin rengini belirlemelerini istemişler. Bu durumda her bilgin karşısındakilerin berelerinin beyaz olduğunu ve geriye bir beyaz, iki siyah bere kaldığını biliyor net olarak. Kısa bir süre düşündükten sonra, bunlardan biri kendi beresinin beyaz olduğu sonucuna varır. Onun mantığını bulabilir misiniz?
7) Bir padişahın kırk vezirinin tamamının karıları eşlerini aldatıyormuş ve kendi karısının dışında tüm karıların sadakatsiz olduklarını vezirlerin hepsi biliyormuş. Bir gün padişah vezirleri toplamış ve onlara şöyle hitap etmiş:”Edindiğim bilgiye göre sizlerden en azından birisinin karısı onu aldatıyor. Bu adamın karısını saraydan dışlamasını istiyorum”. Bu sohbetten geçen 39 gün zarfında hiçbir olay olmamış, fakat kırkıncı gün tüm vezirler aynı anda karılarını saraydan atmışlar. Vezirlerin mantığı neydi? Yani 40. gün vezirlerin her biri kendi karısının da sadakatsiz olduğu sonucuna hangi mantıkla varmıştır?
8) İşveren adam işçilerinden bir tanesini işten atmak, ama bunu değişik bir yöntemle yapmak istiyor. Vazoya her ikisine de “Gitsin” yazılmış ve katlanmış iki kâğıt parçası koyduktan sonra, işçiyi çağırıp diyor ki, vazodaki bu iki kâğıttan birinde “Gitsin”, diğerinde ise “Kalsın” yazılmıştır. Sana yüzde 50 şans tanıyorum, kura çek. “Kalsın” çıkarsa kalırsın, “Gitsin” çıkarsa gidersin. İşçi kâğıtların her ikisinde de “Gitsin” yazıldığını biliyorsa, kalmak için ne yapabilir?
Not. 6. ve 7. soruların çözümünde “Ben biliyorum ki, sen biliyorsun ki, ben biliyorum…” mantığı kullanılır. Yani çözüm sırasında başkalarının da yerine düşünmemiz gerekmektedir.
PS. Dikkatimi mantık problemlerine çektiğine göre Bilkent Üniversitesinden dostum Farhad Hüsseinov’a, resimlerin çiziminde yardımlarından dolayı, Sakarya Üniversitesinden bölüm arkadaşım Özgür Çiftçi’ye teşekkür ediyorum.
KAYNAKLAR
1) Sait Başer, Toplumsal aklı anlamak, Ataç Yayınları, İstanbul, 2006.
2) E. Beckenbach, R. Bellman, Inequalites, Springer Verlag, Berlin, 1961.
3) J. K. Baif, Mantık problemleri, Mir, Moskova, 1983.
4) R. Courant, H. Robbins, Matematik nedir?, Prosveşeniye, Moskova, 1967.
5) V. D. Çistyakov, Matematikçiler hakkında öyküler, Minsk, 1963.
6) H. Poincare, Bilim hakkında, Nauka, Moskova, 1986.
