Ana sayfa 158. Sayı Mektuptaki soru

Mektuptaki soru

921
PAYLAŞ
Goldbach’ın Euler’e gönderdiği mektupta, problemi ifade eden satırlar.

Ali Törün

Sayılar teorisi üzerine yaptığı çalışmalarla tanınan Christian Goldbach’ın, ünlü İsviçre’li matematikçi Leonhard Euler’le düzenli olarak mektuplaştığı bilinmektedir. Goldbach, 1742’de gönderdiği mektupların birinde şöyle bir önermeden söz eder: 2’den büyük her tamsayı 3 asal sayının toplamı olarak yazılabilir. Goldbcah, (1 sayısını asal sayı kabul ederek!), 3=1+1+1, 4=2+1+1 gibi pek çok tamsayıyı incelediğini, hepsinde de böylesi eşitliklerin yazılabildiğini ifade ederek Euler’e bu varsayımının kanıtlanıp kanıtlanmayacağını sorar. “Canlı analiz” olarak bilinen büyük matematikçi Euler, cevaben gönderdiği mektupta bu önermenin doğruluğunu kanıtlayamadığını belirtir, ama ona eşdeğer daha güçlü bir varsayımda bulunur: 2’den büyük her çift tamsayı, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. Örneğin 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=3+7=5+5 gibi. Euler mektuba ayrıca, ifade ettiği önermenin doğru olduğuna inandığını ama kanıtlayamadığını da yazar.

Matematik tarihine Goldbach Hipotezi olarak geçen, aslında Euler’in ifade ettiği bu önerme 300 yılı aşkın bir süredir kanıtlanmayı bekliyor. Her sayı için doğru olduğu bilinmiyor, ama doğru olduğu sanılıyor. Öte yandan bilgisayarla yapılan testlerle, hipotezin 1018 sayısına kadar bütün çift tamsayılar için doğruluğu gösterilmiş, ama bu sonucun matematiksel kanıt için hiçbir değeri yok tabii ki.

Hipotezi kanıtlamanız halinde adınızın matematik tarihine altın harflerle yazılacağından, ölümsüzler arasında yer alacağınızdan emin olabilirsiniz. Belki de “Kanıtlansa ne olur, kanıtlanmasa ne olur, ölümsüzlük mümkün değil ki.” diyenlerimiz olabilir. Bakın, ünlü İngiliz matematikçi Hardy bu görüşe nasıl itiraz ediyor: “Ölümsüzlük” aptalca bir sözcük belki, ama ne anlam gelirse gelsin, herhalde ölümsüz olma şansına en çok bir matematikçi sahiptir.

Bir matematikçi için açıklanabilir bir dünyada açıklanmayandan daha değerli bir şey yoktur sanırım. Gerçeği keşfetme tutkusu! Ve elbette şan ve en son maddi kazanç… Ayrıca şunu da belirtmek gerekir ki; matematik tarihi, matematiksel kanıtların, matematiğin diğer alanlarına ve bilime derin etkilerinin olduğu örneklerle doludur.

Matematiksel evrenin yapı taşları olan, yüzyıllardır matematikçilere kök söktüren asallar esrarengiz sayılardır. Çok kolay tanımlanırlar ama çok sıra dışı davranırlar. Goldbach Hipotezi de ilk bakışta kolay görünen ama Sayılar Kuramı’nın en zor problemlerinden biridir. Hardy, Goldbach Hipotezi’ndeki zor olanın kolay görünüyor olmasını şöyle anlatır: “Kanıtlanamayan ve herhangi bir aptalın tahmin edebileceği Goldbach Hipotezi gibi akıllı tahminler yapmak oldukça kolaydır”.

Ünlü yayınevi Faber&Faber, Goldbach Hipotezi’ni 20 Mart 2000 ile 20 Mart 2002 tarihleri arasında kanıtlayan kişiye 1 milyon dolar ödül vereceğini açıklar, ama ödülü hak eden çıkmaz.

Euler sonrası hipotezin kanıtı için uğraş verenler arasında Hardy, Littlewood, Ramanujan gibi birçok ünlü matematikçinin olduğu bilinmektedir. Öte yandan çoğu matematikçi asal sayılarla ilgili asıl önemli problemin Riemann Hipotezi (Geçen sayıdaki yazımızda ele almıştık.) olduğu kanısındadır, çünkü Riemann Hipotezinin Goldbach Hipotezine göre sonuçları bakımından çok daha etkili olacağı düşünülmektedir.

1941’de Rus matematikçi Vingradov, Goldbach Hipotezinin kanıtı yönünde bazı kısmi adımlar atmış olduğu için Stalin tarafından 100.000 Rubleyle ödüllendirilir.

Hipoteze yönelik en yakın sonuç 1973’te Çinli matematikçi Chen Jingrun tarafından keşfedilir. Chen, yeterince büyük her çift sayının bir asal ve bir de en çok iki asal çarpanı olan bir sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini kanıtlar. 1951’de Rus matematikçi Linnik, her yeterince çift sayının, iki aslın ve 2’nin K’inci kuvvetinin toplamı olacak şekilde bir K sayısının var olduğunu kanıtlanır. 2002’de bu sonucun ?=13, 2003’te de ?=8 için geçerli olduğu gösterilir.

Matematikte pek çok ünlü problemde olduğu gibi Goldbach Hipotezi için de bir takım kanıtlar ortaya atılmış, ama günümüze dek bunlardan hiçbiri matematik topluluğu tarafından onaylanmamıştır.

1931’de Gödel, matematiğin temellerini sarsan “eksiklik teoremleriyle” hangi önermenin kanıtlanabilir, hangilerinin kanıtlanamaz olduğunu önsel olarak belirlemenin mümkün olmadığını gösterir. Bu karar verilemezlik ilkesi Goldbach Hipotezi için de geçerli olabilir, yani belki bu önerme hiçbir zaman kanıtlanamayacaktır; fakat bu görüşün sayı kuramcıları arasında pek taraftarı yoktur. Her ne olursa olsun, bu hipotezi ister kanıtlanabilir, ister kanıtlanamaz bir önerme olarak kabul edelim, kanıt uğrunda yapılan çalışmalar birçok yeni matematiksel kuramın ortaya çıkmasına neden olduğundan, sonuçta matematik ve dolayısıyla insanlık kazanıyor!