Arşimet daha çok fizik alanındaki çalışmalarıyla tanınıyor olsa da gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerden biridir. Matematik tarihçisi E. Bell’e göre tarih boyunca matematiğin üç büyüğü,
Arşimet, Newton ve Gauss’tur. Arşimet’in çalışmaları şaşırtıcı nitelikte ve sezgilere ters düşen yenilikte sonuçlar ortaya çıkarmıştır. Matematiğe en önemli katkısı günümüzde “İntegral Hesap” olarak adlandırılan alanda düzlem şekillerin alanlarının ve katı cisimlerin hacimlerinin hesabıdır. Adeta “sonsuz küçükleri” zihninde ölçüp biçerek hesap yapmıştır. Arşimet, modern kavramlar olan “sonsuz bir serinin toplamı” veya “limit”ten söz etmemektedir ama bu kavramları kullanmıştır. Onun uyguladığı yöntemler ondan 1900 yıl sonra, dönemin matematikçileri tarafından keşfedilen integral hesabın temelini oluşturmuştur.
Arşimet, alan ve hacim hesaplarında “tüketme yöntemi” olarak bilinen bir yol kullanmıştır. 2000 yıl sonra Riemann ve Lebesque gibi matematikçiler tarafından da kullanılacak olan bu yöntemin mantığı kabaca şöyledir: Alanı hesaplanması istenilen yüzey, alanları bilinen iki yüzey arasında eşitsizlik olarak ifade edilir. Bu yüzeyler alanları hesaplanabilen küçük parçalara ayrılır, bu küçük parçalar çok küçültülerek ve sayısı artırılarak alanın yaklaşık değerine ulaşılır.
Arşimet alan ve hacim hesapları yaparken küçük bir güçlükle karşılaşır: Pozitif tamsayıların karelerinin toplamının genel formülünü çıkarmak. Karelerin toplamını hesaplarken
(n+1)n2 + 1 + 2 + … + n = 3(12+22+…+n2) eşitliğinden yararlanır ve bu eşitliğe de tüketme yöntemiyle ulaşmıştır. Bunun için küplerden oluşan piramitleri kullanmıştır. (Kaynak 2) Matematik tarihçileri bu formülün aynı tarihlerde Hindistan’da da keşfedilmiş olabileceğine dair ipuçlarına ulaşmıştır. Defalarca kez keşfedilen bu formülün eski kanıtları Arşimet’inki de dahil olmak üzere hep geometriktir ve günümüz matematiğinin kanıt koşullarına pek uymaz. Pozitif tamsayıların küplerinin toplamının formülünüyse bul(a)mamıştır, bu formülü bir başkası bulana dek o tarihten sonra 1000 yıl geçmiştir.
Aşağıdaki eşitsizlikler ve verilen şekil Arşimet’in karelerin toplamını hesaplarken kullandığı yöntemin
farklı bir modelidir.
n.n2 < 3(12+22+…+n2), n.n2 > 3(12+22+…+(n–1)2), Mathematics Magazine’de (Kaynak 1) Katherine Kanim tarafından kurgulanan bu çizim Arşimet’in kullandığı yöntemi çok güzel açıklıyor. Sol sütunda üçer adet çizilen karelerdeki parçalar verilen eşitsizliklere uygun olarak sağ sütunda kullanılıyor ve sağ sütundaki en sondaki kare, tüketme yöntemiyle (ilk desen her adımda tüketilerek) tamamen kaplanıyor. Meraklı okurun bu şekli keşfetmek isteyeceğini düşünerek daha fazla ayrıntı vermiyorum.
