Matematik Köyü’nde girdiğim derslerin birinde sormuştum bu bulmacayı. Öğrenciler bir saati aşkın bir süreyle uğraşmış, sonuca ulaşamamışlardı. “Çözmeyin, yarına kadar uğraşalım.” seslerinin yükselmesi üzerine problemin çözümünü ertesi güne bırakmış ve içimden “Sanki, Köy amacına ulaşıyor” cümlesini kurarak amfinin çıkış merdivenlerine yönelmiştim.
İlk kez 1969’da Hollanda’lı matematikçi Hans Freudenthal tarafından yayımlandığı için
“Freudental problemi” olarak bilinen bu soruya daha sonra popüler matematik problemlerinin usta ismi Martin Gardner “imkânsız bulmaca” adını takmış. Problemi okuyan birinin ilk bakışta “bu bilgilerle bu bulmaca çözülmez” diyeceği bir soruyla karşı karşıyayız!
Mükemmel bir kurgu ve sabırlı olanlar için keyifli bir zihinsel yolculuk!
İmkânsız bulmaca: 1’den büyük m ve n doğal sayıları için m+n ≤ 100 olduğunu biliyoruz. m+n toplamını Ayşe’ye, m×n çarpımını da Bülent’e söylüyoruz.
Bu bilgileri Ayşe ve Bülent’e de veriyoruz.
Ayşe Bülent’e verilen sayıyı, Bülent de Ayşe’ye verilen sayıyı bilmiyor ve hep doğruyu söylüyorlar.
Ayşe ve Bülent arasında aşağıdaki diyalog gerçekleşiyor. Aslında “diyalog” yerine “yazışma” demek daha doğru olur; çünkü problem, birinin kurduğu cümleden sonra diğerinin belki saatlerce oturup düşünüp, hesap yaparak cevap vermesini gerektiren bir kurguya sahip.
Bülent: m ve n sayılarını bulamıyorum.
Ayşe: Bulamayacağını biliyordum.
Bülent: Aha! Şimdi buldum.
Ayşe: Ben de buldum.
Siz de Ayşe ve Bülent gibi her bir cümleyi analiz ederek m ve n doğal sayılarını bulabilir misiniz?
Bu tür bulmacalara meraklı okurun yazının bundan sonraki bölümünü okumadan önce keşfetmenin tadını çıkararak problemle uğraşacağını umuyorum.
Çözüm: Bülent’in ilk ifadesine bakalım: “m ve n sayılarını bulamıyorum”. Bu cümleden aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.
Sonuç 1: m ve n’nin her ikisi de asal sayı olamaz, çünkü eğer m ve n asal sayı olsaydı m×n tek bir şekilde yazılacaktı ve Bülent m ve n sayılarını bulacaktı. Örneğin 3×5 = 15 ise cevap (3, 5) ikilisi olurdu.
Sonuç 2: (m×n)’nin asal çarpanlarından biri 50’den küçük olmalı, çünkü aksi halde m+n ≤ 100 koşulu sağlanmamış olacağından Bülent m ve n’yi bulurdu. Örneğin (m×n)’nin asal çarpanlarından biri 53 olduğu duruma bakalım.
53×2 olamaz, çünkü Sonuç1’i sağlamaz. Eğer 53×4 olursa bu çarpım ayrıca 106×2 biçiminde yazılabilir ama bu durumda m+n ≤ 100 koşulu sağlanmamış olacağından Bülent m ve n sayılarını 53 ve 2 olarak bulurdu, oysa bulamıyor!
Şimdi Ayşe’nin ilk cümlesine bakalım: “Bulamayacağını biliyordum”.
Ayşe neyi biliyordu? Bülent’in ulaştığı sonucu biliyordu, yani Ayşe m ve n’nin ikisinin de asal olamadığını anlamıştı. Peki ama nasıl?
Bülent’e söylenen çarpımı oluşturan sayıların ikisi de asal sayı olsaydı 2’den farklı asal sayıların toplamı çift sayı olurdu. Demek ki Ayşe’nin elinde tek sayı vardı ve kendinden emin bir şekilde Bülent’in sayıları bulamayacağını bildiğini söyledi. (Çarpımı oluşturan asal sayılardan birinin 2 olma durumunu Sonuç 4’te inceleyeceğiz.)
Ayrıca, Ayşe’nin sahip olduğu bir başka bilgi daha var: 2’den farklı her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. Goldbacah Hipotezi olarak bilinen bu önerme 1742’de Alman matematikçi Christian Goldbach’ın, Leonhard Euler’e yazdığı mektupta ifade edilmiş ve henüz kanıtlanamamıştır.(2) Ama bilgisayarlarla 4×10^18 sayısından küçük sayılar için doğru olduğu gösterildiğinden Ayşe’ye verilen sayının çift bir sayı olmadığı sonucuna
ulaşabiliriz.
Sonuç 3: m+n toplamı tek sayı.
Şimdi de Ayşe’nin ilk cümlesinden çıkardığımız başka bir sonuca gelelim: (m×n)’nin asal çarpanlarından biri 2 iken diğeri başka bir asal sayı olamaz.
Çünkü Ayşe, Bülent’e “Bulamayacağını biliyordum.” derken elindeki tek sayıyı oluşturan sayılardan birinin 2 diğerinin başka bir asal sayı olmadığını da anlamıştı. Dolayısıyla aşağıdaki sonuca ulaşabiliriz.
Sonuç 4: q asal sayı iken m+n ≠ q+2 Örneğin m+n ≠ 11+2 = 13.
Sonuç 5: m+n toplamı 55’ten küçük olmalı. Bu çıkarımı Sonuç 2’ye bakarak kolayca yapabiliriz; çünkü (m×n)’nin asal çarpanlarından biri 50’den küçük olduğunda m+n toplamı da 53+2 = 55’ten küçük olur.
Ulaştığımız sonuçlarla elemanları m+n toplamının alabileceği değerler olan aşağıdaki kümeyi yazabiliriz.
(m+n)∈S = {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53}
Bulmacanın çözümünde önemli bir aşmaya geldik ama daha iyisini yapmalıyız!
Bülent ikinci cümlesiyle sayıları bulduğunu, yani Ayşe’de olan bilgilere sahip olduğunu söylüyor. Ardından da Ayşe “Ben de buldum” diyor. Bu bilgiler ışığında yukarıdaki kümenin elemanlarını inceleyelim.
İlk olarak 11’e bakalım. m+n = 11 olabilir mi?
11 = 3+8 olarak yazılabilir ve 3 ile 8’in çarpımı olan 24 aşağıdaki gibi yazılabilir.
24 = 4×6 = 2×12.
Bülent bu durumda m ve n sayıları sayıları için (3, 8) diyebilir, çünkü (4, 6) ve (2, 12) ikililerindeki sayıların toplamı çift sayı, yani Sonuç 3’ü sağlamıyor.
Bülent’in buldum dediği sayı ikilisinin (3, 8) olduğuna karar vermekte acele etmeyelim; çünkü 11 için aynı durum (4, 7) ikilisi için de geçerli:
28 = 2×14
olarak yazılabilir ki, (2, 14) ikilisi yine Sonuç 3’ü sağlamadığından geçerli değildir. Dolayısıyla Bülent bu durumda da m ve n sayıları için (4, 7) diyebilir.
11 sayısı (3, 8) ve (4, 7) ikililerini ürettiği için Ayşe’nin elindeki sayı 11 olamaz, çünkü bu durumda Ayşe “Ben de buldum” diyemez. Bu sonucu şu örnekle daha açık ifade edebiliriz: Bülent’in elindeki sayı 28, Ayşe’de 11 olduğunu varsayalım. 28 sayısı sadece 11 toplam sayısını üretir ama 11 aynı zamanda (3, 8) ikilisini de ürettiği için Ayşe’nin m ve n sayılarını bulması mümkün olamaz.
Demek ki m+n toplamı 11’e eşit değil.
Şimdi yeni bir sonuç çıkarmak için 11 sayısını aşağıdaki gibi iki farklı şekilde yazalım.
11 = 7+2²= 3+2³.
7×2² = 28 ve 3×2³ = 24 eşitliklerine dikkat edersek p, 2’den farklı bir asal sayı ve k doğal sayı olmak üzere m+n toplamı
p+2^k
biçiminde tek bir şekilde yazılmalıdır, çünkü 11 = 7+2² = 3+2³ eşitliklerinden de görüldüğü üzere eğer m+n toplamı, 2’den farklı bir asal sayı ve 2’nin doğal sayı kuvveti olarak tek bir şekilde yazılamıyorsa o asal sayıyla 2’nin kuvvetleri çarpılacağından en az iki seçeneğin olduğu durumlarla karşılaşıyoruz ve Ayşe m ve n sayılarını bulamıyor.
Sonuç 6: p, 2’den farklı bir asal sayı ve k doğal sayı olmak üzere m+n toplamı p+2^k
biçiminde tek bir şekilde yazılmalıdır.
Sonuç 6’dan yararlanarak S kümesinden 17, 29, 41 ve 53 dışındaki sayıları atabiliriz, çünkü
eşitlikleri yazılabilir.
29, 41 ve 53’ü de eleyebiliriz; çünkü bu sayılar da tıpkı yukarıdakiler gibi iki farklı sonuç doğuruyor:
Yukarıdaki eşitliklerde 21 ve 25’in asal değil, dolayısıyla Sonuç 6 sağlanmıyor, ama 11 ve diğerlerinde olduğu gibi Ayşe’nin sayıları bulmasını engelleyen sonuçlar doğuruyor. Örneğin 29 sayısını oluşturan toplamlara bakarsak 13×2^4 ve 25×2²
çarpımlarını üretiyorlar. Ki bu durumda (13, 16) ve (25, 4) seçenekleri oluştuğundan Ayşe “Ben de buldum.” diyemiyor.
Ve geldik 17 sayısına… Artık m+n = 17 olduğunu biliyoruz, ama m ve n sayılarını bulmalıyız. Seçenekleri tek tek incelememiz gerekiyor.
17 = 2+15 için (2, 15) ikilisi 30 çarpımını üretiyor ve (2, 15)’in dışında olası çiftler (3, 10) ve (5, 6). Bu sayılara karşılık gelen toplamlar sırasıyla 13 ve 11. Bu sayılardan 13, S kümesinin elemanı olmadığından elenir ama 11, S’nin elemanı olduğundan (5, 6) ikilisindeki sayılar m ve n’nin değeri olabilir. Bu durumda, Bülent’teki sayının 30 olduğunu varsayarsak, m ve n için (2, 15) ve (5, 6) ikililerindeki sayılar olabilir, dolayısıyla Bülent “Aha! Şimdi buldum.” diyemez.
17 = 3+14 için (3, 14) ikilisi 42 çarpımını üretiyor ve (3, 14)’ün dışında olası çiftler (6, 7) ve (2, 21). Bu sayılara karşılık gelen toplamlar sırasıyla 13 ve 23. Bu sayılardan 13, S kümesinin elemanı olmadığından elenir ama 23, S’nin elemanı olduğundan (2, 21) ikilisindeki sayılar m ve n’nin değeri olabilir. Bu durumda, Bülent’teki sayının 42 olduğunu varsayarsak, m ve n için (3, 14) ve (2, 21) ikililerindeki sayılar olabilir, dolayısıyla Bülent “Aha! Şimdi buldum.” diyemez.
17 = 4+13 için (4, 13) ikilisi 52 çarpımını üretiyor ve (4, 13)’ün dışında olası tek bir çift (2, 26). Bu sayılara karşılık gelen toplam 28 ama S kümesinin elemanı olmadığından elenir. Bu durumda Bülent (4, 13) ikilisi için “Aha! Şimdi buldum.” diyebilir.
Burada duruyor ve diğer seçeneklerin (17 = 5+12, 17 = 6+11, 17 = 7+10, 17 = 9+8) yukarıdaki gibi araştırılmasını okura bırakıyorum.
Yukarıdaki diğer seçenekler incelendiğinde Bülent (4, 13) ikilisi dışındaki tüm durumlarda “Aha! Şimdi buldum.” cümlesini kuramıyor. Dolayısıyla m ve n sayılarının değerleri 4 ve 13.
Bulmacanın çözümü zor bir yolculuğu gerektiriyor, ama keşfedilenler çok güzel!
KAYNAKLAR
1) https://www.cs.rug.nl/~grl/ds05/sumproduct.pdf
2) https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture
