“Bilgisayarlar yüksek bir ivmeyle gelişiyor, sürekli olarak yeni özellikler kazanıyorlar. Peki ama bunun bir sınırı var mı? Gödel, zihin-beyin-bilgisayar ilişkisi ve bunların kapasitelerinin karşılaştırılması ile de ilgilenmiş. Beynin, bir dijital bilgisayar gibi çalıştığı; ama zihnin her ikisinden daha fazlasını yapabildiği iddiasındaydı.”
Viyana’daki ilk günlerimi hatırlıyorum. Oturum izni belgelerinin hazırlanması, okul kaydı gibi resmi işlemleri tamamlayıp kentte gezinmeye başladığım zamanlardı. Yüksek lisans yapacağım bölüme ait binayı görmek amacıyla, sağlı sollu pek çok bilim kurumunun yer aldığı Waehringer caddesine yönelmiştim. Ellerim cebimde ağır ağır gezinirken, sol tarafımdaki bahçeli, duvarları henüz yeşermemiş bitkilerle kaplı görkemli yapının önünde durakladım. İki tabeladan altta olanı, benim için son derece önemli bir ismi üzerinde taşıyordu: Kurt Gödel Matematiksel Mantık Araştırma Merkezi.
Gödel üzerine aylar önce yaptığım, beni fazlasıyla heyecanlandıran okumaları hatırladım. Evet, bilimsel çalışmalarına uzak değildim; ancak Gödel denildiğinde aklıma Viyana gelmiyordu. Daha sonra öğrendim ki, 1906’da, bugün Çek Cumhuriyeti sınırlarında yer alan Brno’da doğan Gödel, üniversite eğitimi için 1924’te Viyana’ya yerleşmiş; fizik ve matematik öğreniminden sonra doktorasını tamamlamış; birçok meşhur teoremini bu kentte geliştirmiş; 1940’ta ABD’ye taşınana dek burada yaşamıştı.
Bugün, Avusturya Bilim ve Teknoloji Enstitüsü’nde evrimsel biyoloji doktorası yapan Murat Tuğrul ile Cafe Central’de buluşup Gödel’i konuşacağız. Ben çoktan gelip oturdum, her zaman geç kalan adaşımı bekliyorum. Tuğrul, yazı dizimizin Şubat 2014’te yayımlanan ilk bölümünde (1), Viyana’nın havası ve kahveleri üzerine genel bir değerlendirme yapmıştı. Sanırım Cafe Central’den söz ederek devam etsem yeterli olacaktır. Eski bir finans merkezinin giriş katındaki kafe 1876’da açılmış. Merkezi bir konumda bulunan ve 19. yüzyılın sonuna doğru Avrupa çapında bir üne kavuşan bu tarihi yapı, bilim insanlarından sanatçılara, edebiyatçılardan politikacılara kadar, yüzlerce ismi ağırlamış. Viyana Çevresi olarak bilinen felsefeciler topluluğu kimi buluşmalarında burayı kullanmış; Troçki, Adler, Schnitzler, Hitler ve daha onlarca isim burayı mesken tutmuş. Kafenin tarihi ve konukları başlı başına bir kitap konusu olur diye düşünenleriniz varsa, haklı olduklarını belirtelim; çünkü böyle bir eserin basımı yapılmış (2). Siz merak ededurun, Tuğrul içeri giriyor şimdi, biz Gödel üzerine sohbete başlayalım.
Konumuz: Matematik kesinlik disiplini mi?
Murat Tuğrul (MT): Abi sen İzmir’de okumadın mı, bu dakiklik niye?
Murat Naroğlu (MN): Elimde değil, randevu dediler mi dayanamıyorum.
MT: Doğru, sen bilgisayar bilimi okumuştun. En nihayetinde matematiksel bilim terbiyesi almışsın, “kesinlik” içine işlemiş. Sahi, bugün aslında temelinde bu noktayı konuşacağız: “Bütünüyle bakarsak Matematik gerçekten kesinlik disiplini midir?”
MN: Matematiği diğer disiplinlerden ayıran en önemli özelliğinin, kesinliğe yakınlığı, tutarlılığı olduğu düşünülür. İki bin yıl önce kanıtlanmış bir teorem bugün de geçerlidir, değişim daha azdır; ancak matematikte de tutarsızlık, çelişki olamaz mı!
Cantor’u duymuşsundur, 1873’te küme teorisini geliştirmişti ve sonsuzlukla ilgileniyordu. Teoremi, bir kümenin alt kümelerinin sayısının, her zaman, kümenin eleman sayısından büyük olduğunu söyler; yani sonsuz tane sonsuz küme dizisi vardır. Bu bir şekilde matematiğin kesinlik tanımını sarsıyordu doğrusu. Sonsuzluklar arasında bir ilişki, bir mantık arayıp sarsıntının üstesinden gelmeye çalıştı, süreklilik hipotezine yöneldi; ancak istediğini elde edemedi. Ki bu yoğun ve yorucu süreçte akıl sağlığını yitirdi.
MT: Eyvah, zor soru sorduk o zaman. Dur, ağırdan alalım başlarken. Kahveleri söyleyelim. Kitap ve notları da yaymışsın masaya, neler var elinde?
MN: Gödel’in dert ortağı Hao Wang’ı okuyorum (3), konunun uzmanlarından. Radyo söyleşileri, belgesel ve konferans videolarından çıkardığım notlar da cabası (4-7). Tüm bunlar arasında en çok etkilendiğim ve bulunduğumuz mekânla da ilişkili anekdotla başlayayım.
1930 yaz sonlarında Gödel, iki meslektaşıyla Cafe Central’de buluşuyor ve 1931’de yayımlanacak eksiklik teoremlerinden söz ediyor. Bir gün sonra ise dönemin en ünlü matematikçisi David Hilbert, kafede konuşulanlardan habersiz bir şekilde şu cümleleri sarf ediyor: “Wir müssen wissen. Wir werden wissen.” Türkçesi ile söylersek: “Bilmeliyiz. Bileceğiz.” Matematikte kesinliği arayan Hilbert, 24 yaşındaki genç Gödel ve arkadaşlarının sohbetine katılmış olsaydı, yine de bu cümleleri sarf eder miydi, çok merak ediyorum.
Hilbert’e vurulan darbeler
MT: Biraz daha açar mısın Hilbert’in bu söylemini?
MN: Hilbert, geniş bir ilgi alanı olan ve matematiğin temelleri ile ilgilenen bir biliminsanıydı. Başlangıç aksiyomları kabul edildiği takdirde kesin sonuçlara ulaşılabileceği, önermelerin kanıtlanabileceği düşüncesindeydi. Cantor’un açtığı gediği kapatmayı hedeflerken, bunu insanlığın onur meselesi olarak gördüğüne dair bir sözünü işitmiştim. Bir tümdengelimci olarak matematiği satranç benzeri bir oyun olarak görüyordu. Satrancın kuralları aksiyomlar ise, herhangi bir zaman içinde varılabilecek taşlar dizilimi de, doğru olan önermelere karşılık geliyordu. Hilbert, sadece sonlu matematiği kullanarak matematikte tutarlılık ve tamlık (İng. completeness) arayışındaydı. Sağlam bir zemin üzerinde, tutarlı (çelişkisiz), tam (doğru ve yanlış önermelerin kanıtlanabildiği) ve karar verilebilir (algoritma kullanılarak doğruluk ya da yanlışlığın gösterilebildiği) bir matematik. 1900’de, Paris’teki Uluslararası Matematik Kongresi’nde Hilbert 23 tane problem sunuyor. Bunlardan ikincisi, aritmetiğin aksiyomlarının tutarlılığının kanıtlanmasını istiyordu.
MT: Sanırım Hilbert’in matematik tanımına ilk sersemletici darbeyi Russell vuruyor, üstelik ironik bir şekilde, Hilbert’in izinde giderken yapıyor bunu. Russell paradoksundan söz ediyorum (1901), Gödel’den çok önce. Russell, Cantor’un küme teorisinde mantıksal bir çelişki buluyor. Bu paradoks çoğu zaman berber paradoksu olarak anılır, öyle anlatayım. Bir adada bütün erkeklerin tıraş olduğunu ve kendisi de erkek olan sadece bir berberin bulunduğunu düşün (aksiyom!). Bir önerme olarak şöyle diyebiliriz: adada kendini tıraş edemeyen erkekler berber tarafından tıraş edilirler. İlk bakışta bu önermede bir gariplik yok gibi gözükebilir, ta ki “ya berberi kim tıraş ediyor?” sorusunu sorana dek. Önermemizdeki tıraş olan erkeğin yerine berberi koyarsan, bir çelişki olduğunu fark edeceksin. Ama Hilbert’e asıl öldürücü darbeyi vuran Gödel oluyor. İstersen bunu sen anlat, ne de olsa matematiğe daha yakın sayılırsın.
MN: Gödel, 1931’de yayımladığı eksiklik teoremleriyle, aritmetiğe dayalı aksiyomatik bir sistemden yola çıkarak, doğru olduğu hâlde kanıtlanamayan önermeler bulunduğunu, dolayısıyla matematiğin çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını kanıtladı. Eksiklik teoremlerini şöyle özetleyebiliriz: 1) Tutarlı bir sistem tam ve eksiksiz değildir. 2) Bir sistemin tutarlılığı, sistemin kendisi tarafından kanıtlanamaz.
Gödel, “Bu önerme kanıtlanamaz” şeklinde bir G ifadesi alıp bunu formüle etmiş ve şunu göstermiştir: eğer “G ifadesi doğrudur” diyorsanız, G ifadesinin tersinin de (“Bu önerme kanıtlanabilir”) doğru olduğunu söyleyebilirsiniz. Yani doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanamayan bir önermenin varlığını kanıtlamıştır. Daha sonraları, G ifadesini aksiyomlar arasına dahil ederek sorunu çözme girişimleri vardır; ancak başarılı olunamamıştır. Bu ifade eklendiğinde, aynı özelliklerde bir başka ifade daha bulunabilir.
Şimdi Cafe Central’deki o tarihi buluşmayı ve ertesi gün Hilbert’in konuşmasını tekrar düşünelim, ne büyük tesadüf olmuş!
Teorik bilgisayar bilimi
MT: Matematiğin temelleri üzerine kafa yoranlar için, Gödel’in yaptıkları bir devrim niteliğinde. Fakat, matematiksel mantıkla çok ilgili olmayanlar, bütün bu hikâyelerin hayatımıza nasıl yansımış olabileceğini merak edecektir. Aslına bakarsan benim gibi doğa bilimcileri ya da uygulamalı matematikçileri çok derinden etkilemiş olduğunu söyleyemem. Pratik manada önemini ortaya çıkaran Turing’dir, değil mi?
MN: 1936’da yayımlanmış çalışmasında Alan Turing, Gödel’in tezlerini somut ve pratik düzlemde yeniden formüle etmiş, daha sonraki herhangi bir bilgisayarın atası kabul edilecek hipotetik Turing makinesini tariflemiştir. Kabaca, kural tablosu verildiğinde sembolleri mantık kuralları dahilinde değiştiren bir makine düşünelim. Turing bu makinede, bazı çözülemez problemler olduğunu, yani makinenin sonsuza dek durmadan (sonuç vermeden) çalışacağını göstermiştir. Daha da kötüsü, bunların önceden öngörülemeyeceğini ortaya koymuş olmasıdır.
En azından Gödel’in teoreminde, ispatlanabilir ile ispatlanamazı önceden bilebiliyorduk. Turing’de ise makinenin, çözülemeyecek olanın ne olduğunu bilemeyip duramaması gibi pratik bir sorun ortaya çıkıyor (“durma problemi”). Hem Turing’in çığır açıcı çalışması hem de eksiklik teoremlerinin, kanıt ve hesaplamanın sınırlarını göstermiş olması, Gödel’i bilgisayar bilimi için çok önemli bir yere oturtmaktadır. Hatta, yapay zekânın en önemli isimlerinden Jürgen Schmidhuber’e göre Kurt Gödel, teorik bilgisayar biliminin kurucusudur.
MT: Bu noktada bilgisayarların bir gün insanlar gibi olup olamayacağı tartışması da gündeme geliyor.
MN: Evet, son derece önemli tartışmaların, araştırmaların yapıldığı bir alan. Bilgisayarlar yüksek bir ivmeyle gelişiyor, sürekli olarak yeni özellikler kazanıyorlar. Peki ama bunun bir sınırı var mı? Gödel, zihin-beyin-bilgisayar ilişkisi ve bunların kapasitelerinin karşılaştırılması ile de ilgilenmiş. Beynin, bir dijital bilgisayar gibi çalıştığı; ama zihnin her ikisinden daha fazlasını yapabildiği iddiasındaydı. Bunun haricinde Wang, ayırt edici bir başka sürece, yeni kavramların oluşumuna dikkat çekiyor. Fizikçi Roger Penrose, Gödel’in teoremi ve Turing’in durma problemine dayanarak, bilgisayarın insan zekâsı gibi olamayacağını düşünenlerden. Bu görüşün aksini savunanlar da var tabii. Biçimsel mantığın sınırlarını aşan, deterministik olmayan, öğrenip kendini geliştirebilen bilgisayarların imkânsız olmadığını düşünüyorlar.
Gödel’le bilimden sanata
MT: Sohbetimizi bitirmeden önce, Kurt Gödel’in ABD’deki Princeton yıllarında Einstein ile çok iyi dost olduğunu eklemek istiyorum. Gödel’in, Einstein’ın genel görecelik kuramı üzerine ciddi çalışmaları var. Pratikte önemi var mı bilmem; ama en azından matematiksel olarak belirli özel koşullar altında (!) uzay-zamanda kapalı yörüngeler olabileceğini gösteriyor: anlayacağımız dil ile söylersem zamanda yolculuk.
MN: Bir ekleme de benden, bilimi sanata bağlayalım. “Havana Duruşması” kitabıyla tanıdığım Hans Magnus Enzensberger, 1971’de Gödel’in teoremleri üzerine bir şiir yazıyor. Hans Werner Henze ise bu eserden yola çıkarak ikinci keman konçertosunu besteliyor. Mutlaka dinlemelisin.
MT: O zaman gelecek buluşmamızda bir başka Viyanalı bilimci, hatta benim gözümde gelmiş geçmiş en önemli fizikçi, Boltzmann’ı konuşalım.
MN: Evet, bir başka heyecan verici öykü daha.
Dipnotlar
1) Murat Tuğrul & Murat Naroğlu, Viyana kahvelerinde bilim tarihi: Freud ve Cafe Landtmann, Bilim ve Gelecek Dergisi, Şubat 2014, Sayı 129, s.68-70.
2) Herbert Lehmann, vd., Café Central, Palais Events Veranstaltungen, 2011.
3) Hao Wang, A logical journey: from Gödel to philosophy, The MIT Press, 1996.
4) BBC Radio 4, Gödel’s Incompleteness Theorems, 09.10.2008.
5) Mark Colyvan, Kurt Gödel and the Limits of Mathematics, 09.2009.
6) Bekir S. Gür, Bir matematik filozofu olarak Kurt Gödel, Bilim ve Gelecek Dergisi, Nisan 2006, Sayı 26, s.48-54.
7) Murat Razi, Gödel soruyor: Bilgisayar düşünebilir mi?, Açık Bilim, Şubat 2014.
Kaynaklar için kullanılabilecek linkler
1) http://bilimvegelecek.com.tr/?goster=2143
2) http://www.palaisevents.at/cafecentral/shop.html
4) BBC radyo programı: http://www.bbc.co.uk/programmes/b00dshx3
5) Bölüm 1: http://www.youtube.com/watch?v=i2KP1vWkQ6Y
Bölüm 2: http://www.youtube.com/watch?v=bgvxVUyVdXk
Bölüm 3: http://www.youtube.com/watch?v=W4-O7j169D0
6) Bekir Gür yazısı: http://www.bilimvegelecek.com.tr/?goster=791
7) Murat Razi yazısı:
Henze’nin keman konçertosu: http://www.youtube.com/watch?v=ZiGN_Z8BUeo
